전체 확률의 법칙

2026. 1. 30. 16:32

우리는 P(A)는 알고 있었지만, P(B)는 알 수 없는 상황이 많습니다.

이때 필요한 것이 바로 전체 확률의 법칙입니다.

전체 확률의 법칙은 어떤 사건이 발생하는 모든 경우를 나누어 각각의 확률을 구한 뒤, 그것을 더하면 전체 확률이 된다는 원리를 공식화한 것입니다.

어떤 사건 $B$ 가 여러 경우인 $A $, $A^c$(A의 여집합)으로 나뉘어 발생할 수 있다면 아래와 같습니다.

$$P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^c)P(A^c)$$

해당 식이 가장 기본적인 전체 확률의 법칙의 형태입니다.

이전 예시를 한 번 더 가져오겠습니다.

이전 글에서 구해야 했던 $P(빨간 과일)$을 구하도록 하겠습니다. 빨간 과일은 다음 두 가지의 경우로 존재합니다.

그럼 이 두 가지 조각을 더하면, 우리가 그토록 알고 싶었던 전체과일에서의 빨간 과일의 확률이 나올 것입니다.

하지만 두 확률을 더하면 0.333이 나오게 되는데.. 뭔가 이상합니다..

그 이유는 지금 더한 값들이 서로 다른 표본공간에서 계산된 확률이기 때문입니다.

는 $P(\text{빨강}\mid\text{사과})$로, 사과라는 집합 안에서의 비율입니다.

은 $P(\text{빨강}\mid\text{사과 아님})$로, 사과가 아닌 집합 안에서의 비율입니다.

이 둘은 각각 다른 표본 집합을 기준으로 한 조건부 확률이기 때문에 그대로 더할 수 없습니다.

따라서 두 확률을 똑같이 전체 과일 기준의 확률로 변환 후 더해야 합니다.

조건부 확률 $P(A\mid B)$에서 표본 집합을 B에서 전체 집합으로 옮기려면 P(B)를 곱하면 됩니다.

$$P(\text{빨간 과일}) = P(\text{빨간 과일}\mid \text{사과})\times P(\text{사과}) + P( \text{빨간 과일}\mid \text{사과 아님})\times P(\text{사과 아님})$$

$$
\begin{aligned}
P(\text{빨간 과일})
&= 0.25\times 0.4 + 0.083\times 0.6 \\
&= 0.1498 \approx 0.15
\end{aligned}
$$

즉, 전체 과일 중 빨간 과일의 비율은 15% 로 계산이 됩니다.

DDIDDING