들어가며
결합 확률과 조건부 확률을 공부하다가, 확률에 대한 곱셈의 의미가 궁금해 알아보았다.
하필 왜 곱셈이지?? 라는 생각을 했었는데, 곱의 법칙이라는 개념에서 그 이유를 찾을 수 있었다!
곱의 법칙
수학에서의 동시는 우리가 흔히 생각하는 동시간대라는 의미가 아니다.
두 조건이 모두 참이면 동시라고 한다.
예시로 옛날 극장에는 동시 상영관이라는게 있었다.
동시 상영이면 영화 두 편을 같이 상영하는가? 하면 그렇지 않고,
한 편이 끝나면 바로 이어서 다른 한 편을 상영하는 걸 동시 상영이라고 한다.
이런 동시 상영이 실시간으로 같이 상영 됐다고 하지는 않지만,
수학적으로는 동시에 상영됐다고 말할 수 있다!
(그래서 수학적으로 동시에 일어나는 사건은, 연달아 발생하는 사건과 같다.)
이렇게 수학적으로 동시에 일어나는 사건의 각 경우의 수를 곱하면 총 경우의 수가 도출되는데,
해당 정의 내용을 곱의 법칙이라고 한다.
각 사건이 독립할 때
사건A의 확률이 변동 되어도 사건B의 확률에 영향이 없을 때의 경우다.
$P(A\cap B) = P(A) \times P(B)$이다.
각 사건이 독립되지 않을 때
사건A의 확률이 변동되면 사건B의 확률에 영향이 가는 경우로, 이 경우가 결합 확률과 조건부 확률에서 나오는 상황이다.
이때는 더 이상 단순히 두 확률을 곱할 수 없다.
왜냐하면, 사건 B는 “전체 상황”이 아니라 사건 A가 이미 발생한 상황에서의 확률이 되기 때문이다.
그래서 이 경우에는 단순히 사건 A가 발생한 확률, 사건 B가 발생한 확률이 아닌, 다음과 같이 확률을 나누어 생각한다.
- 먼저 사건 A가 발생할 확률
- 사건 A가 발생했다는 조건하에서, 사건 B가 발생할 확률
위 처럼 사건을 단계별로 나누어 생각하면,
전체 확률 공간에서 보았을 때 두 확률이 동시에 일어나는 확률을 곱의 법칙으로 구할 수 있다.
$P(A\cap B) = P(A) \times P(B\mid A)$
조건부 확률과의 관계
조건부 확률은 전체 확률 공간이 아니라, 이미 만족한 사건의 확률 공간에 기반한다.
그래서 조건부 확률만으로는 전체 확률 공간에서의 확률을 알 수 없어서,
$P(A\cap B) = P(A) \times P(B\mid A)$ 같은 식을 사용했었다.
즉, 조건부 확률은 이미 줄어든 확률 공간에서의 비율이기 때문에,
그 조건이 전체에서 얼마나 자주 발생하는지를 함께 고려해야 한다.
이때 사용하는 연산이 곱이며, 이것이 확률에서 곱셈이 등장하여 곱의 법칙이 사용되는 이유다!